Question

1．已知下列四個命題：
（1）若ax²-ax+1＞0在x∈R上恒成立，則0＜a＜4；
（2）銳角三角形△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，則$\frac{1}{2}$＜sinB＜1；
（3）已知k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$恒有公共點，則m∈[1，5）；
（4）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x?0時，f（x）＞0，則函數(shù)f（x）在[a，b]上有最小值f（b）．
其中的真命題是（2）（4）．

Answer 1

分析 求出使ax²-ax+1＞0在x∈R上恒成立的a的范圍，可判斷（1）；根據(jù)銳角三角形△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，求出B的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷（2）；直線y-kx-1=0恒過（0，1）點，根據(jù)題意可得（0，1）在橢圓上，或在橢圓內(nèi)，進(jìn)而求出m的范圍，可判斷（3）； 根據(jù)題意得到f（x）=kx，（k＜0），進(jìn)而結(jié)合正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷（4）．

解答 解：（1）若a=0，則ax²-ax+1=1＞0在x∈R上恒成立，
若a≠0，則由ax²-ax+1=1＞0在x∈R上恒成立得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得0＜a＜4；
故若ax²-ax+1＞0在x∈R上恒成立，則0≤a＜4，故（1）錯誤；
（2）銳角三角形△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，則$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，則$\frac{1}{2}$＜sinB＜1，故（2）正確；
（3）直線y-kx-1=0恒過（0，1）點，若直線y-kx-1=0與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$恒有公共點，
則（0，1）在橢圓上，或在橢圓內(nèi)，則m∈[1，5）∪（5，+∞），故（3）錯誤；
（4）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），則函數(shù)為正比例型函數(shù)，即y=kx，
由當(dāng)x＜0時，f（x）＞0，可得k＜0，即函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[a，b]上有最小值f（b），故（4）正確．
故真命題的序號為：（2）（4），
故答案為：（2）（4）

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔．