Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，則向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$在向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為（　�。�

• A． $\frac{19\sqrt{13}}{13}$
• B． $\frac{6\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{5\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{13}$

Answer 1

分析 利用求模運算得到|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|，向量|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|進(jìn)而得到向量向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$與向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角余弦，根據(jù)投影定義可得答案．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，
所以|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|²=4$\overrightarrow{a}$²+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+9$\overrightarrow$²=16+12|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos120°+81=61，|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|=$\sqrt{61}$．
又|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=16+4×3×2cos120°+9=13，
所以|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，
則cos＜2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$＞=$\frac{（2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow||2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{16-8×2×3×\frac{1}{2}+27}{\sqrt{61}\sqrt{13}}$=$\frac{19}{\sqrt{61}•\sqrt{13}}$，
所以向量2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$在向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$方向上的投影為|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|cos＜2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$＞=$\sqrt{61}×\frac{19}{\sqrt{61}•\sqrt{13}}$=$\frac{19\sqrt{13}}{13}$，
故選：A．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，考查向量模的求解投影等概念，是中檔題．