Question

設函數f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，若函數f（x）的圖象與x軸的交點也在函數g（x）的圖象上，且在此點有公切線．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ） 證明：當x＞1時，f（x）＜g（x）．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導，由題意可得

a+b=0 a-b=1

，從而求a，b的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），求導可知F（x）是（0，+∞）上的減函數，且F（1）=0，從而證明當x＞1時，f（x）＜g（x）．

解答： 解：（I）∵f′（x）=

1

x

，g′（x）=a-

b

x2

，
∴由題意可得：

a+b=0 a-b=1

，解得，a=

1

2

，b=-

1

2

．
（Ⅱ）證明：由（I）可知g（x）=

1

2

（x-

1

x

），
令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

（x-

1

x

），
∵F′（x）=-

1

2

（1-

1

x

）²≤0，
∴F（x）是（0，+∞）上的減函數，而F（1）=0，
∴當x＞1時，F(xiàn)（x）＜0，
即f（x）＜g（x）．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．