Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為，已知a₁=1，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|a_n-n-2|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到a_n=3^n-1，n∈N^*．
（2）分類討論，分別根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）由題意得a₂=2S₁+1=2a₁+1=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n+1）=2a_n，
得a_n+1=3a_n，
∵a₂=3a₁，
∴a_n=3^n-1，n∈N^*．
（2）設(shè)b_n=|a_n-n-2|，n∈N^*．b₁=2，b₂=1，
當(dāng)n≥3時(shí)，由于3^n-1＞n+2，故b_n=3^n-1+（n-2），n≥3，
可知T₁=2，T₂=3，
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n=3+$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-$\frac{（n-2）（n+7）}{2}$=$\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}$，（*），
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=4≠2，不適合，
當(dāng)n=2時(shí)，T₂=3，適合，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，n≥2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．