Question

2．東莞某家具生產(chǎn)廠家根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整新產(chǎn)品生產(chǎn)方案，準(zhǔn)備每周（按40個(gè)工時(shí)計(jì)算）生產(chǎn)書桌、書柜、電腦椅共120張，且書桌至少生產(chǎn)20張．已知生產(chǎn)這些家具每張所需工時(shí)和每張產(chǎn)值如表：

家具名稱	書桌	書柜	電腦椅
工  時(shí)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$
產(chǎn)值（千元）	4	3	2

問每周應(yīng)生產(chǎn)書桌、書柜、電腦椅各多少張，才能使產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析 設(shè)每周生產(chǎn)書桌x張、書柜y張，則生產(chǎn)電腦椅120-x-y張，產(chǎn)值為z千元，由題意列出關(guān)于x，y的不等式組，再求出線性目標(biāo)函數(shù)z=4x+3y+2（120-x-y）=2x+y+240，
由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：設(shè)每周生產(chǎn)書桌x張、書柜y張，則生產(chǎn)電腦椅120-x-y張，產(chǎn)值為z千元，
則依題意得z=4x+3y+2（120-x-y）=2x+y+240，
由題意得x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{4}（120-x-y）≤40\\ 120-x-y≥0\\ x≥20\\ y≥0.\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}3x+y≤120\\ x+y≤120\\ x≥20\\ y≥0.\end{array}\right.$，
畫出可行域如圖所示．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}3x+y=120\\ x=20\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=60\end{array}\right.$，即M（20，60）．
做出直線l₀：2x+y=0，
平移l₀過點(diǎn)M（20，60）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，z_max=2×20+60+240=340（千元）．
答：每周應(yīng)生產(chǎn)書桌20張，書柜60張，電腦椅40張，才能使產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值是340千元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．