Question

8．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)．焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x．且過(guò)點(diǎn)N（2$\sqrt{5}$，4）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點(diǎn)N在此雙曲線上，且∠F₁NF₂=60°，求△F₁NF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線的方程為y²-x²=λ（λ≠0），代入點(diǎn)N（2$\sqrt{5}$，4），求出λ，可得雙曲線的方程；
（2）設(shè)出|NF₁|=m，|NF₂|=n，利用雙曲線的定義以及余弦定理列出關(guān)系式，求出mn的值，然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的方程為y²-x²=λ（λ≠0），
代入點(diǎn)N（2$\sqrt{5}$，4），可得16-20=λ，
∴λ=-4，
∴雙曲線的方程為y²-x²=-4，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)|NF₁|=m，|NF₂|=n，
則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=4①}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-2mncos60°=32②}\end{array}\right.$，
由②-①²得mn=16
∴△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．