8.已知雙曲線的中心在原點(diǎn).焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上,一條漸近線方程為y=x.且過點(diǎn)N(2$\sqrt{5}$,4).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點(diǎn)N在此雙曲線上,且∠F1NF2=60°,求△F1NF2的面積.

分析 (1)設(shè)雙曲線的方程為y2-x2=λ(λ≠0),代入點(diǎn)N(2$\sqrt{5}$,4),求出λ,可得雙曲線的方程;
(2)設(shè)出|NF1|=m,|NF2|=n,利用雙曲線的定義以及余弦定理列出關(guān)系式,求出mn的值,然后求解三角形的面積.

解答 解:(1)設(shè)雙曲線的方程為y2-x2=λ(λ≠0),
代入點(diǎn)N(2$\sqrt{5}$,4),可得16-20=λ,
∴λ=-4,
∴雙曲線的方程為y2-x2=-4,即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設(shè)|NF1|=m,|NF2|=n,
則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=4①}\\{{m}^{2}+{n}^{2}-2mncos60°=32②}\end{array}\right.$,
由②-①2得mn=16
∴△F1MF2的面積S=$\frac{1}{2}$mnsin60°=4$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì),雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.

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