Question

16．如圖，橢圓C₁：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP，BP與橢圓C₁分別交于C，D兩點(diǎn)．C是AP的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P，C的橫坐標(biāo)；
（2）若直線CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及橢圓方程，解方程可得P，C的橫坐標(biāo)；
（2）求得橢圓的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)，求出直線PB的方程，代入橢圓方程，求得D的坐標(biāo)，再由C，D，F(xiàn)共線，可得F的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）由題意可得A（-1，0），B（1，0），設(shè)P（m，n），
可得中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{n}{2}$），
即有m²-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，（$\frac{m-1}{2}$）²+$\frac{{n}^{2}}{4^{2}}$=1，
解方程可得m=2（-1舍去），n=$\sqrt{3}$b，
即有P，C的橫坐標(biāo)為2和$\frac{1}{2}$；
（2）橢圓C₁的右焦點(diǎn)為（$\sqrt{1-^{2}}$，0），
直線PB的方程為y=$\sqrt{3}$b（x-1），
代入橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）可得
2x²-3x+1=0，解得x=1或x=$\frac{1}{2}$，
即有D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
由直線CD過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，
可得$\sqrt{1-^{2}}$=$\frac{1}{2}$，解得b²=$\frac{3}{4}$，
則橢圓方程為x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及雙曲線的方程的運(yùn)用，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．