Question

10．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓C經(jīng)過定點(diǎn)（1，-$\frac{3}{2}$），右頂點(diǎn)為B，過右焦點(diǎn)F₁的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線PB，QB分別與直線l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$交于E，F(xiàn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線PB，QB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（3）求三角形BEF面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式e=$\frac{c}{a}$，求得a=2c，b²=3c²，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可k₁•k₂為定值；
（3）由三角形的面積${S_{△BEF}}=2|{k_1}-{k_2}|=2|{k_1}|+2|{k_2}|≥4\sqrt{|{k_1}{k_2}|}=6$，由（2）即可求得三角形BEF面積的最小值．

解答 解：（1）由橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，b²=a²-c²=3c²，
將（1，-$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，解得：c=1，則a²=4，b²=3，
橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（3分）
（2）證明：易知F₂（1，0），B（2，0），設(shè)直線l為：x=my+1，設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+4）y²+6my-9=0，y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴${k_1}•{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-2}}•\frac{y_2}{{{x_2}-2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}}{{{m^2}（\frac{-9}{{3{m^2}+4}}）-m（\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}）+1}}$，
=$\frac{{\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}}{{{m^2}（\frac{-9}{{3{m^2}+4}}）-m（\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}）+1}}=\frac{-9}{{-9{m^2}+6{m^2}+3{m^2}+4}}=-\frac{9}{4}$，
k₁•k₂為定值-$\frac{9}{4}$；…（7分）
（3）設(shè)PB：y=k₁（x-2），QB：y=k₂（x-2），$x=\frac{a^2}{c}=4$，
可解得E（4，2k₁），F(xiàn)（4，2k₂），以EF為底求BEF面積為：${S_{△BEF}}=\frac{1}{2}|EF|•2=2|{k_1}-{k_2}|$，
由于${k_1}{k_2}=-\frac{9}{4}＜0$，
可知${S_{△BEF}}=2|{k_1}-{k_2}|=2|{k_1}|+2|{k_2}|≥4\sqrt{|{k_1}{k_2}|}=6$，
故三角形面積最小值為6．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．