Question

14．求函數(shù)f（x）=$\frac{co{s}^{5}x-cosxsi{n}^{4}x}{co{s}^{3}x-si{n}^{3}x}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 運用同角的平方關系和平方差公式、立方差公式，化簡整理，再分子分母同除以cos²α，再轉化為關于tanx的二次方程，由判別式非負，解不等式即可得到函數(shù)的最值．

解答 解：y=f（x）=$\frac{co{s}^{5}x-cosxsi{n}^{4}x}{co{s}^{3}x-si{n}^{3}x}$=$\frac{cosx（co{s}^{4}x-si{n}^{4}x）}{（cosx-sinx）（co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x）}$
=$\frac{cosx（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）（co{s}^{2}x+si{n}^{2}x）}{（cosx-sinx）（co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x）}$
=$\frac{co{s}^{2}x+cosxsinx}{co{s}^{2}x+cosxsinx+si{n}^{2}x}$=$\frac{1+tanx}{1+tanx+ta{n}^{2}x}$（tanx≠1），
可得ytan²x+（y-1）tanx+y-1=0，
由判別式△≥0，即（y-1）²-4y（y-1）≥0，
解得-$\frac{1}{3}$≤y≤1．
則當tanx=-2時，f（x）取得最小值-$\frac{1}{3}$；
當tanx=0時，f（x）取得最大值1．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，注意運用同角的平方關系和商數(shù)關系化簡整理，結合二次方程判別式非負，考查運算能力，屬于中檔題．