Question

9．如圖，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-3，0），（3，0），點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，P、Q分別以AC和BC為直徑的兩圓O₁，O₂的外公切線的切點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 作MC⊥AB，交PQ于點(diǎn)M，則MC是兩圓的公切線，可得M為線段PQ的中點(diǎn)，連接O₁M，O₂M，則∠O₁MO₂=90°，|O₁M|²+|O₂M|²=|O₁O₂|²，即可求出線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程．

解答 解：作MC⊥AB，交PQ于點(diǎn)M，則MC是兩圓的公切線，
∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，
∴M為線段PQ的中點(diǎn)，
設(shè)M（x，y），則C（x，0），O₁（$\frac{-3+x}{2}$，0），O₂（$\frac{3+x}{2}$，0），連接O₁M，O₂M，則∠O₁MO₂=90°，
∴|O₁M|²+|O₂M|²=|O₁O₂|²，
∴（x-$\frac{-3+x}{2}$）²+y²+（x-$\frac{3+x}{2}$）²+y²=（$\frac{-3+x}{2}$-$\frac{3+x}{2}$）²，
∴x²+4y²=9，
∵點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，AC和BC為直徑，
∴-3＜x＜3，
∴線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為x²+4y²=9（-3＜x＜3）．

點(diǎn)評 本題考查線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程，考查圓的知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定M為線段PQ的中點(diǎn)是關(guān)鍵．