Question

19．拋物線y²=2px（p＞0）與過焦點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的直線所圍成的封閉圖形面積是6，則p=3．

Answer 1

分析 直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與該拋物線的軸垂直，則拋物線與直線的交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，±p），y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根據(jù)定積分的幾何意義得2${∫}_{0}^{p}$（$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-6，即可求p．

解答 解：直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且與該拋物線的軸垂直，
則拋物線與直線的交點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，±p），
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根據(jù)定積分的幾何意義得2${∫}_{0}^{p}$（$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-6，
∵（$\frac{{y}^{3}}{6p}$）′=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，
∴2×$\frac{{p}^{2}}{6}$=p²-6，
解得p=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了微積分的幾何性質(zhì)，及定積分定理的應(yīng)用，屬于中檔題，