Question

12．在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD=2BC，AB=PB，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PCD；
（2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，CF．證明BE∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明BE∥平面PCD．
（2）證明PA⊥CF，結(jié)合PA⊥PD，利用直線與平面垂直的判定定理證明PA⊥平面PCD．然后證明平面PAB⊥平面PCD．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)F，連接EF，CF．因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
因?yàn)锽C∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，所以EF∥BC，EF=BC．
所以四邊形BCFE為平行四邊形．所以BE∥CF．…（4分）
因?yàn)锽E?平面PCD，CF?平面PCD，所以BE∥平面PCD．…（6分）
（2）因?yàn)锳B=PB，E為PA的中點(diǎn)，所以PA⊥BE．
因?yàn)锽E∥CF，所以PA⊥CF．…（9分）
因?yàn)镻A⊥PD，PD?平面PCD，CF?平面PCD，PD∩CF=F，所以PA⊥平面PCD．…（12分）
因?yàn)镻A?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…（14分）．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的在與應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．