Question

17．在極坐標系中，設圓C：ρ=4cosθ與直線l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）交于A，B兩點，求以AB為直徑的圓的極坐標方程．

Answer 1

分析 首先，將給定的圓化為直角坐標方程，然后，求解點A、B的坐標，然后，確定其方程．

解答 解：以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系，
則由題意，得圓C的直角坐標方程x²+y²-4x=0，
直線l的直角坐標方程y=x．…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以A（0，0），B（2，2），
從而以AB為直徑的圓的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²+y²=2x+2y．…（7分）
將其化為極坐標方程為：ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）=0，
即ρ=2（cosθ+sinθ）．…（10分）

點評 本題重點考查了圓的極坐標方程和普通方程、極坐標和直角坐標方程的互化等知識．