Question

5．某商品在近30天內每件的銷售價格p（元）與時間t（天）的函數(shù)關系是$p=\left\{\begin{array}{l}t+20，0＜t＜25，t∈N\\-t+100，25≤t≤30，t∈N\end{array}\right.$，該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數(shù)關系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N）．
（1）求這種商品的日銷售金額的解析式；
（2）求日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天的第幾天？

Answer 1

分析 （1）在解答時，應充分考慮自變量的范圍不同銷售的價格表達形式不同，分情況討論即可獲得日銷售金額y關于時間t的函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)分段函數(shù)不同段上的表達式，分別求最大值最終取較大者分析即可獲得問題解答．

解答 解：（1）由題意可知：y=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+40），（0＜t＜25，t∈{N}_{+}）}\\{（-t+100）（-t+40），（25≤t≤30，t∈{N}_{+}）}\end{array}\right.$．
（2）當0＜t＜25，t∈N₊時，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）時，y_max=900（元），
當25≤t≤30，t∈N₊時，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[25，30]時，函數(shù)遞減．
∴t=25（天）時，y_max=1125（元）．
∵1125＞900，∴y_max=1125（元）．
故所求日銷售金額的最大值為1125元，且在最近30天中的第25天日銷售額最大．

點評 本題考查的是分段函數(shù)應用類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、二次函數(shù)球最值得方法以及問題轉化的能力．值得同學們體會反思．