【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n(n∈N*),數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列,且2b2 , b3﹣3,b2+2成等差數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=anbn(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
【答案】解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n(n∈N*),
∴a1=S1= =5,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=( )﹣[ ]
=3n+2,
當(dāng)n=1時(shí),上式成立,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+2.
∵數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列,且2b2,b3﹣3,b2+2成等差數(shù)列,
∴ ,解得q=2.
∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=4×2n﹣1=2n+1.
(Ⅱ)∵cn=anbn=(3n+2)2n+1=(6n+4)2n,
∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和:
Tn=10×2+16×22+22×23+…+(6n+4)×2n,①
2Tn=10×22+16×23+22×23+…+(6n+4)×2n+1,②
①﹣②,得:
﹣Tn=20+6(22+23+…+2n)﹣(6n+4)×2n+1
=20+6× ﹣(6n+4)×2n+1
=﹣4﹣(6n﹣2)×2n+1,
∴Tn=(6n﹣2)×2n+1+4
【解析】(Ⅰ)由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn= n2+ n(n∈N*),得到a1=S1=5,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;由數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4的正項(xiàng)等比數(shù)列,且2b2,b3﹣3,b2+2成等差數(shù)列,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列性質(zhì)列出方程,求出公比,由此能求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.(Ⅱ)由cn=anbn=(3n+2)2n+1=(6n+4)2n,利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一組數(shù)據(jù)如表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 1.3 | 1.9 | 2.5 | 2.7 | 3.6 |
(1)畫出散點(diǎn)圖;
(2)根據(jù)下面提供的參考公式,求出回歸直線方程,并估計(jì)當(dāng)x=8時(shí),y的值.
(參考公式: = = , = ﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若不等式|x+1|+| ﹣1|≤a有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≥2
B.a<2
C.a≥1
D.a<1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4噸,硝酸鹽18噸;生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1噸,硝酸鹽15噸.現(xiàn)庫存磷酸鹽10噸,硝酸鹽66噸,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.如果生產(chǎn)1車皮甲種肥料產(chǎn)生的利潤為12 000元,生產(chǎn)1車皮乙種肥料產(chǎn)生的利潤為7 000元,那么可產(chǎn)生的最大利潤是( )
A.29 000元
B.31 000元
C.38 000元
D.45 000元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的角A,B,C所對的邊,且c=2,C= .
(1)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(2)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求A的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n,則記為N≡n(bmodm),例如10≡2(bmod4).下面程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的i等于( )
A.4
B.8
C.16
D.32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高二年級在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)后,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績組成一個(gè)樣本,得到如下頻率分布直方圖:
(1)求這部分學(xué)生成績的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作為代表)
(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校高二學(xué)生在這次測驗(yàn)中的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布 . ①利用正態(tài)分布,求P(X≥129);
②若該校高二共有1000名學(xué)生,試?yán)芒俚慕Y(jié)果估計(jì)這次測驗(yàn)中,數(shù)學(xué)成績在129分以上(含129分)的學(xué)生人數(shù).(結(jié)果用整數(shù)表示)
附:① ≈14.5②若X~N(μ,σ2),則P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+1)=f(x﹣1),且f(x)在[﹣3,﹣2]上是增函數(shù),又α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角,則( )
A.f(sinα)>f(cosβ)
B.f(cosα)<f(cosβ)
C.f(sinα)<f(cosβ)
D.f(sinα)<f(sinβ)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知| |=1,| |= ,
(1)若 、 的夾角為60°,求| + |;
(2)若 ﹣ 與 垂直,求 與 的夾角.
(3)若 ∥ ,求 .
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