Question

8．求證：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜n（n∈N^*且n＞1）

Answer 1

分析 利用數(shù)學歸納法即可證明．

解答 證明：利用數(shù)學歸納法證明．
（1）當n=2時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2=右邊，此時不等式成立；
（2）假設當n=k≥2時，不等式成立，
則當n=k+1時，左邊=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＜k+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＜k+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}}$=k+1=右邊，
∴當n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：?n∈N^*且n＞1，命題成立．

點評 本題考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式、不等式的放縮，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．