Question

19．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=2a_n+n，b_n=2（a_n+n+1），c_n=（4+2a_n-a_n+1）b_n，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）若a₁、b₂、a₃成等差數(shù)列，求λ的值；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)λ=-1時(shí)，設(shè)T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n及T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）表示出a₂=2λ+1，a₃=4λ+4，b₂=4λ+8，運(yùn)用等差中項(xiàng)求解即可得出λ=-4，
（2）運(yùn)用遞推關(guān)系式得出b_n+1=2（a_n+1+n+2）=2（2a_n+2n+2）=2b_n，項(xiàng)為0與否分類討論判斷等比數(shù)列問(wèn)題．
（3）得出T_n=3×2¹+2×2²+1×2³+…+（4-n）2ⁿ，運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=（4-n）2ⁿ⁺²-10，再根據(jù)關(guān)于n的函數(shù)的單調(diào)性判斷最大項(xiàng)即可．

解答 解；（1）由題意得a₂=2λ+1，a₃=4λ+4，b₂=4λ+8，
∵a₁、b₂、a₃成等差數(shù)列，
∴8λ+16=λ+4λ+4，
解得：λ=-4，
（2）∵b_n=2（a_n+n+1），
∴b_n+1=2（a_n+1+n+2）=2（2a_n+2n+2）=2b_n，
∵b₁=2（λ+2），
∴當(dāng)λ=-2時(shí)，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列，
當(dāng)λ≠-2時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（3）當(dāng)λ=-1時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=2，
∴b_n=2ⁿ，
∵c_n=（4+2a_n-a_n+1）b_n，
∴c_n=（4-n）2ⁿ，
∴T_n=3×2¹+2×2²+1×2³+…+（4-n）2ⁿ，①
2T_n=3×2²+2×2³+1×2⁴+…+（4-n）2ⁿ⁺¹，②
②-①得出：T_n=-6+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ+（4-n）2ⁿ⁺¹
=-8+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（4-n）2ⁿ⁺¹=（5-n）2ⁿ⁺¹-10，
從而T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=（4-n）2ⁿ⁺²-10，
T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁-T_n=（3-n）2ⁿ⁺¹，
∴當(dāng)1≤n＜3時(shí)，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁＞T_n，數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞增，
當(dāng)n=3時(shí)，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁=T_n．即T₄=T₃，
當(dāng)n＞3時(shí)，T${\;}_{{\;}_{n}}$₊₁-T_n＜0，數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞減，
∴當(dāng)n=3，n=4時(shí)，T_n最大，此時(shí)T_n=22．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了數(shù)列的定義性質(zhì)，知三求二的題型，分類討論，錯(cuò)位相減思想的運(yùn)用，考查了運(yùn)算化簡(jiǎn)的能力，屬于難題．