Question

15．已知a，b，c為互不相等的整數(shù)，則4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²的最小值為8．

Answer 1

分析 設(shè)a+b+c=t，由于（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，可得t²≤3（a²+b²+c²），4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²≥$\frac{4}{3}{t}^{2}$-t²=$\frac{1}{3}{t}^{2}$，利用a，b，c為互不相等的整數(shù)，由于已知a，b，c為互不相等的整數(shù)，由此可知：只要使得a²+b²+c²取得最小值即可．

解答 解：設(shè)a+b+c=t，
∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2ab+2bc+2ac，
∴t²≤3（a²+b²+c²），
4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²≥$\frac{4}{3}{t}^{2}$-t²=$\frac{1}{3}{t}^{2}$，
若a，b，c為相等的整數(shù)，則當a=b=c=0時，最小值為0．
由于已知a，b，c為互不相等的整數(shù)，由此可知：只要使得a²+b²+c²取得最小值即可，
于是對于a，b，c的取值，只要考查a，b，c∈{-1，0，1}的情況即可得出．
不妨取a=-1，b=0，c=1時，4（a²+b²+c²）-（a+b+c）²取得最小值8．

點評 本題考查了不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、乘法公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．