Question

5．已知不等式$\sqrt{（x-a）^{2}+4（lnx-a-\frac{1}{2}）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． -$\frac{1}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由兩點(diǎn)的距離公式可得原不等式的幾何意義為點(diǎn)P（a，2a+1）與點(diǎn)（x，2lnx）的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，設(shè)曲線y=2lnx的一點(diǎn)A（m，2lnm）為切點(diǎn)，即有PA與過(guò)A的切線垂直時(shí)，PA取得最小值．求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得a，m的方程，對(duì)照選項(xiàng)，解方程可得a的值．

解答 解：不等式$\sqrt{（x-a）^{2}+4（lnx-a-\frac{1}{2}）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$即為：
$\sqrt{（x-a）^{2}+（2lnx-2a-1）^{2}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
表示點(diǎn)P（a，2a+1）與點(diǎn)（x，2lnx）的距離的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)曲線y=2lnx的一點(diǎn)A（m，2lnm）為切點(diǎn)，
即有PA與過(guò)A的切線垂直時(shí)，PA取得最小值．
由y=2lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{2}{x}$，
可得切線的斜率為$\frac{2}{m}$，
由兩直線垂直的條件可得-$\frac{m}{2}$=$\frac{2a+1-2lnm}{a-m}$，①
且$\sqrt{（m-a）^{2}+（2lnm-2a-1）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，②
由①可得2lnm-2a-1=-$\frac{m（m-a）}{2}$，
代入②可得（m-a）²（1+$\frac{{m}^{2}}{4}$）=$\frac{9}{5}$，
對(duì)照選項(xiàng)，可得a=-$\frac{1}{5}$時(shí)，m=1，滿足題意．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．