Question

16．設(shè)實數(shù)a，x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，則xy的取值范圍是（　�。�

• A． [2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 先求出2xy的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)解關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：實數(shù)a，x，y，滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，
①²-②解得：2xy=3a²-6a+4，∵a²+2a-3≥0，∴a≥1或a≤-3．
根據(jù)圓心到直線的距離小于或等于半徑，
得：$\frac{|2a-1|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{{a}^{2}+2a-3}$，
解得2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令g（x）=$\frac{1}{2}$（3a²-6a+4），對稱軸a=1，1∉[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴a=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時：g（x）最�。�$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
a=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時：g（x）最大：$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
xy∈[$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$]，
故選：D．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．