Question

6．使f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）為偶函數(shù)，且在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上是減函數(shù)的θ的一個值是（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． -$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 由題意可得 2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)，可得θ=kπ+$\frac{5π}{6}$，故θ應從A、D中選�。�分別檢驗是否滿足在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上是減函數(shù)，可得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-$\frac{π}{3}$）為偶函數(shù)，
∴θ-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 θ=kπ+$\frac{5π}{6}$，故θ應從A、D中選�。�
若θ=$\frac{5π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，f（x）是減函數(shù)，滿足條件．
若θ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x，在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，2x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，f（x）是增函數(shù)，不滿足條件．
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．