Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x-1．
（1）若x∈[-π，π]，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范圍；
（3）求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對(duì)稱性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)f（x），再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式，取k的值，即可得到所求；
（2）由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可得到所求f（x）的范圍；
（3）運(yùn)用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心，解方程即可得到所求．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）-1=2sin（2x+

π

6

）-1．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得，kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
由于x∈[-π，π]，則k=0，得-

π

3

≤x≤

π

6

，k=1得

2π

3

≤x≤π，
k=-1，得，-π≤x≤-

5π

6

，
即有f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

3

，

π

6

]，[-π，-

5π

6

]，[

2π

3

，π]；
（2）由于x∈[-

5π

12

，

π

3

]，則2x+

π

6

∈[-

2π

3

，

5π

6

]，
則sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，則f（x）∈[-3，1]，
則f（x）的取值范圍：[-3，1]；
（3）由于f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，則x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
再令2x+

π

6

=kπ，解得，x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
即有函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
對(duì)稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，-1），k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查二倍角公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．