Question

12．已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosA，sinA），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1．
（1）求角A；
（2）若$\overrightarrow{p}$=（sinB，-3cosB），$\overrightarrow{q}$=（sinB，cosB），且$\overrightarrow{p}$⊥$\overrightarrow{q}$，求tanC．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得出$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，而根據(jù)A為三角形的內(nèi)角，從而可以得出A-$\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，從而得到A=$\frac{π}{3}$；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{p}⊥\overrightarrow{q}$便有$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=0$，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得出tan²B=3，從而有$tanB=±\sqrt{3}$，而根據(jù)0＜B$＜\frac{2π}{3}$，從而便可得出tanB=$\sqrt{3}$，從而得出角B，這樣便可得出角C，從而求出tanC．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-cosA+\sqrt{3}sinA=2sin（A-\frac{π}{6}）=1$；
∴$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
∵A為三角形內(nèi)角，0＜A＜π；
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）$\overrightarrow{p}⊥\overrightarrow{q}$；
∴$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}=si{n}^{2}B-3co{s}^{2}B=0$；
∴sin²B=3cos²B；
∴tan²B=3，$tanB=±\sqrt{3}$；
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$；
∴$tanB=\sqrt{3}$；
即B=$\frac{π}{3}$；
∴$tanC=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．

點評 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，兩角差的正弦公式，已知三角函數(shù)值求角，三角形內(nèi)角的范圍，以及相互垂直向量的數(shù)量積情況，弦化切公式．