Question

17．邊長為1的正方形ABCD中，邊AB，BC上分別有一動點Q，R．且|BQ|=|CR|，建立適當的坐標系，求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 首先分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設出動點P、Q、R的坐標，由平面幾何知識列等式，消去參數變量即可求得點P的軌跡方程．

解答 解：分別以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，
如圖所示，
則點A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
設動點P（x，y），設|AQ|=t（0≤t≤1），則Q（t，0），
由|BQ|=|CR|，知|AQ|=|BR|，
∴R（1，t），
當t≠0時，直線AR的方程為y=tx①，
直線DQ方程為$\frac{x}{t}+y=1$②，
由②式得，1-y=$\frac{x}{t}$③，
①×③得，y（1-y）=tx•$\frac{x}{t}$，化簡得：x²+y²-y=0．
當t=0時，點P與原點重合，坐標O（0，0）滿足上述方程，
故點P的軌跡方程為x²+y²-y=0（0$≤x≤\frac{1}{2}$，0$≤y≤\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，正確建系并適當引用參數是解答該題的關鍵，是中檔題．