Question

11．設I是直角△ABC的內(nèi)心，其中AB=3，BC=4，CA=5，若$\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，則x+y=（　�。�

• A． $\frac{7}{12}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 將三角形放入直角坐標系，利用向量法進行求解，利用面積法先求出I的坐標，然后利用向量坐標之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：將△ABC放置于直角坐標系中，如右圖所示，設內(nèi)切圓的半徑為r，則A（3，0）B（0，0）C（0，4）．
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△ACI
∴$\frac{AB•BC}{2}=\frac{AB•r}{2}+\frac{BC•r}{2}+\frac{AC•r}{2}$
求得r=1
∵$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}$=（-3，0）+（1，1）=（-2，1）
$\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x（-3，0）+y（-3，4）$=（-3x-3y，4y）
$；\\;\\;\\;\\;=（-3x-3y，4y）$∴-3x-3y=-2，4y=1
解得x=$\frac{5}{12}$，y=$\frac{1}{4}$
∴x+y=$\frac{2}{3}$
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的應用以及平面向量運算的坐標表示，同時利用面積相等是解題過程中的一個關(guān)鍵．