Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=4x+4．
（1）求a、b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（0）=4，f′（0）=4．故b=4，a+b=8，即可得到a，b；
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
由已知得f（0）=4，f′（0）=4，
故b=4，a+b=8，
∴a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
∴f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4（x+2）（e^x-$\frac{1}{2}$）．
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2，
從而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（-2，-ln2）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
在（-2，-ln2）上單調(diào)遞減．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．