Question

5．已知x，y∈R，向量α=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$是矩陣A=$[\begin{array}{l}{-1}&{x}\\{y}&{0}\end{array}]$的屬于特征值-2的一個特征向量．
（1）求矩陣A以及它的另一個特征值；
（2）求曲線F：9x²-2xy+y²=1在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到的曲線F′的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知，得Aα=-2α，利用矩陣變換得到$\left\{\begin{array}{l}1+x=2\\-y=-2\end{array}\right.$，求得x，y的值，代入矩陣可得矩陣A的特征多項式，進(jìn)一步求得另一個特征值；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線F上任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)辄cP'（x₀'，y₀'），由矩陣變換把P的坐標(biāo)用P′的坐標(biāo)表示，再由點P在曲線F上得答案．

解答 （1）由已知，得Aα=-2α，即$[{\begin{array}{l}{-1}&x\\ y&0\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 1\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{1+x}\\{-y}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}2\\{-2}\end{array}}]$，
即$\left\{\begin{array}{l}1+x=2\\-y=-2\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$．
∴矩陣$A=[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}]$． …（4分）
從而矩陣A的特征多項式$f（λ）=|{\begin{array}{l}{λ+1}&{-1}\\{-2}&λ\end{array}}|=（λ-1）（λ+2）$，
則矩陣A的另一個特征值為1；       …（7分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀）為曲線F上任意一點，在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)辄cP'（x₀'，y₀'），
則$[{\begin{array}{l}{{x_0}'}\\{{y_0}'}\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}][{\begin{array}{l}{x_0}\\{{y_0}}\end{array}}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}'={y_0}-{x_0}\\{y_0}'=2{x_0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_0}={x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}\\{x_0}=\frac{{{y_0}'}}{2}\end{array}\right.$，…（11分）
又點P在曲線F上，∴$9x_0^2-2{x_0}{y_0}+y_0^2=1$，
故有$9{（\frac{{{y_0}'}}{2}）^2}-2（{x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}）\frac{{{y_0}'}}{2}+{（{x_0}'+\frac{{{y_0}'}}{2}）^2}=1$，整理得，${（{x_0}'）^2}+2{（{y_0}'）^2}=1$，
∴曲線F'的方程為x²+2y²=1．    …（14分）

點評 本題考查特殊的矩陣變換，考查了特征向量的意義，關(guān)鍵是對題意的理解，屬中檔題．