Question

7．設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，則所有k的值為$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 依題可得橢圓的方程，設(shè)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，進(jìn)而求得x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$求得x₀的表達(dá)式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，進(jìn)而求得x₀的另一個表達(dá)式，兩個表達(dá)式相等即可求得k．

解答 解：依題設(shè)得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
設(shè)D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F(xiàn)（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x₀=$\frac{2}{1+2k}$．所以$\frac{2}{1+2k}$=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
化簡得24k²-25k+6=0，解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時考查直線和橢圓聯(lián)立，求交點，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運算能力，屬于中檔題．