Question

設(shè)

a

=（a_1，a_2），

b

=（b_1，b_2）定義向量積：

a

?

b

=（a_1b_1，a_2b_2）
已知

m

=（2，

1

2

）

n

=（

π

3w

，m）（w＞0）點(diǎn)p（x，y）為曲線y=sinwx上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為曲線y=f（x）上的動(dòng)點(diǎn)
且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式（用w、m表示）；
（2）當(dāng)m=-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-1的所有交點(diǎn)的最小距離為

π

3

，求w的值；
（3）若函數(shù)f（x）滿足條件f（x+3）+f（x）=0，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，設(shè)P（x，sinwx），然后，依據(jù)向量關(guān)系，得到所以Q(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)，利用點(diǎn)Q在給定的曲線上，建立關(guān)系式，然后化簡即可；
（2）直接依據(jù)周期公式進(jìn)行求解w；
（3）首先，結(jié)合f（x+3）+f（x）=0，得到函數(shù)f（x）的解析式，然后，結(jié)合給定的范圍，求解即可．

解答： 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）在曲線y=sinwx上，
則設(shè)P（x，sinwx）
由已知得

OQ

=(2，

1

2

)?(x，sinwx)+(

π

3w

，m)=(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)
∴Q(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)
因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線y=f（x）上，
∴f(2x+

π

3w

)=

1

2

sinwx+m，
令2x+

π

3w

=t且t∈R則x=

1

2

t-

π

6w

，
∴f(t)=

1

2

sinw(

1

2

t-6

π

w

)+m，
即f(x)=

1

2

sin(

1

2

wx-

π

6

)+m(w＞0)．
（2）∵m=-

1

2

所以f(x)=

1

2

sin(

1

2

wx-

π

6

)-

1

2

由題意得T=

π

3

=

2π

1 2 ω

，
解得w=12．
（3）∵f（x+3）+f（x）=0，
∴f(x+6)=f(x)T=66=

2π

1 2 w

w=

2

3

π所以f(x)=

1

2

sin(

1

3

πx-

π

6

)+m，
∵0≤x≤1，
∴0≤

1

3

πx≤

1

3

π-

π

6

≤

1

3

πx-

π

6

≤

1

6

π，
∴-

1

4

+m≤f(x)≤

1

4

+m又-

1

4

＜f(x)＜4恒成立
∴

- 1 4 +m＞-4 1 4 +m＜4

解得-

15

4

＜m＜

15

4

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍(-

15

4

，

15

4

)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．