Question

12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，若雙曲線C上與A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相同的任意一點(diǎn)P，滿足k_PA•k_PB=2（k表示直線的斜率0），則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合k_PA•k_PB=2，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁）
∴k_PA•k_PB=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$
A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），代入雙曲線方程，兩式相減可得$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$
∵k_PA•k_PB=2，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2
∴e²-1=2
∴e=$\sqrt{3}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．