Question

3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與M到定直線x+1=0的距離相等，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角等于45°的直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積等于（　�。�

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意得點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于M到直線x=-1的距離，根據(jù)拋物線定義，可得點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，求出點(diǎn)M的軌跡方程；算出直線AB的方程為y=x-1，與拋物線方程聯(lián)解，消去y可得y²-4y-4=0．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系算出|y₁-y₂|=4$\sqrt{2}$，再根據(jù)三角形面積公式加以計(jì)算，可得△AB0的面積．

解答 解：設(shè)M（x，y），
∵動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與M到定直線x+1=0的距離相等，
∴點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于M到直線x=-1的距離，
由拋物線定義得：點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），可得$\frac{p}{2}$=1，p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x，即為點(diǎn)M的軌跡方程；
∵直線的傾斜角為45°，
∴直線的斜率k=tan45°=1，
可得直線的方程為y=1×（x-1），即y=x-1．
與y²=4x聯(lián)立，消去x，整理得y²-4y-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{16-4×（-4）}$=4$\sqrt{2}$，
因此，△AB0的面積S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并依此求滿足條件的△AB0的面積．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．