3.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與M到定直線x+1=0的距離相等,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角等于45°的直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積等于( 。
A.3$\sqrt{2}$B.3$\sqrt{3}$C.2$\sqrt{2}$D.2$\sqrt{3}$

分析 由題意得點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離等于M到直線x=-1的距離,根據(jù)拋物線定義,可得點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,求出點(diǎn)M的軌跡方程;算出直線AB的方程為y=x-1,與拋物線方程聯(lián)解,消去y可得y2-4y-4=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系算出|y1-y2|=4$\sqrt{2}$,再根據(jù)三角形面積公式加以計(jì)算,可得△AB0的面積.

解答 解:設(shè)M(x,y),
∵動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與M到定直線x+1=0的距離相等,
∴點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離等于M到直線x=-1的距離,
由拋物線定義得:點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),可得$\frac{p}{2}$=1,p=2,
∴拋物線的方程為y2=4x,即為點(diǎn)M的軌跡方程;
∵直線的傾斜角為45°,
∴直線的斜率k=tan45°=1,
可得直線的方程為y=1×(x-1),即y=x-1.
與y2=4x聯(lián)立,消去x,整理得y2-4y-4=0.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則y1+y2=4,y1y2=-4,
∴|y1-y2|=$\sqrt{16-4×(-4)}$=4$\sqrt{2}$,
因此,△AB0的面積S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y1-y2|=$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并依此求滿足條件的△AB0的面積.著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.

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