Question

8．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側面DCC₁D₁是菱形，且平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，∠D₁DC=$\frac{π}{3}$，E是A₁D的中點，F(xiàn)是BD₁的中點．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）若M是CD的中點，求證：平面D₁AM⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）連結AD₁，利用中位線定理得出EF∥AB，故而EF∥平面ABCD；
（2）連結CD₁，則△D₁DC為等邊三角形，于是D₁M⊥CD，利用面面垂直的性質(zhì)得出D₁M⊥平面ABCD，故而平面D₁AM⊥平面ABCD．

解答 證明：（1）連結AD₁，
∵四邊形AA₁D₁D是平行四邊形，E是A₁D的中點，
∴E是AD₁的中點，又F是BD₁的中點，
∴EF∥AB，
又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）連結CD₁．
∵四邊形CDD₁C₁是菱形，∠D₁DC=$\frac{π}{3}$，
∴△D₁DC是等邊三角形，
∵M是CD的中點，
∴D₁M⊥CD，又平面DCC₁D₁⊥平面ABCD，平面DCC₁D₁∩平面ABCD=CD，
∴D₁M⊥平面ABCD，又D₁M?平面D₁AM，
∴平面D₁AM⊥平面ABCD．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，熟練掌握判定定理，構造平行線或垂線是證明的一般思路，屬于中檔題．