Question

9．定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足2f（x）-（4-x）f′（x）＞0恒成立，則下列一定正確的是（　�。�

• A． f（5）-f（3）＞0
• B． f（6）-f（2）＜0
• C． 4f（2）-f（3）＜0
• D． 4f（6）-f（5）＞0

Answer 1

分析 由所給不等式2f（x）-（4-x）f′（x）＞0恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=（x-4）²f（x），由輔助函數(shù)求導，知g′（x）=（x-4）[2f（x）-（4-x）f′（x）]，與所給不等式有關(guān)，所以由輔助函數(shù)的單調(diào)性可知對應的f（x）的值的大小．

解答 解：∵2f（x）-（4-x）f′（x）＞0，
∴作輔助函數(shù)g（x）=（x-4）²f（x），
則g′（x）=（x-4）[2f（x）-（4-x）f′（x）]，
當x＞4時，有x-4＞0，2f（x）-（4-x）f′（x）＞0，
∴g（x）在[4，+∞）上是增函數(shù)．
∴當5＜6時，有g(shù)（5）＜g（6），即f（5）＜4f（6），
∴4f（6）-f（5）＞0．
故選：D．

點評 本題考查由所給不等式，構(gòu)造輔助函數(shù)，對輔助函數(shù)求導，知與所給不等式有關(guān)，所以由輔助函數(shù)的單調(diào)性可知對應的f（x）的值的大�。畬儆诤妙}．