Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，則S₂₀₁₆=1023120．

Answer 1

分析 a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=0，因此a_2k+1=a_2k-1=a₁=6．n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2-a_2k=2，因此數(shù)列{a_2k}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=6，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，
∴n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=0，因此a_2k+1=a_2k-1=a₁=6．
n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2-a_2k=2，因此數(shù)列{a_2k}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
則S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=6×1008+2×1008+$\frac{1008×1007}{2}×2$
=1023120，
故答案為：1023120．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“分組求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．