Question

17．甲、乙兩家快餐店對(duì)某日7個(gè)時(shí)段光順的客人人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)并繪制莖葉圖如圖所示（下面簡(jiǎn)稱甲數(shù)據(jù)、乙數(shù)據(jù)），且乙數(shù)據(jù)的眾數(shù)為17，甲數(shù)據(jù)的平均數(shù)比乙數(shù)據(jù)平均數(shù)少2．
（1）求a，b的值．并計(jì)算乙數(shù)據(jù)的方差；
（2）現(xiàn)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)數(shù)分別記為m，n．并進(jìn)行對(duì)比分析，有放回的選取2次，記m＞n的次數(shù)為X．求X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由乙數(shù)據(jù)的眾數(shù)為17，求出a；再求出甲數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而得到乙數(shù)據(jù)平均數(shù)，由此能求出b．
（2）現(xiàn)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)數(shù)分別記為m，n，有放回的選取2次，記m＞n的次數(shù)為X．則X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答 解：（1）∵乙數(shù)據(jù)的眾數(shù)為17，∴a=7．
∵甲數(shù)據(jù)的平均數(shù)$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{7}$（6+7+8+13+15+15+20）=12，
甲數(shù)據(jù)的平均數(shù)比乙數(shù)據(jù)平均數(shù)少2，
∴乙數(shù)據(jù)平均數(shù)$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{7}$（8+9+10+15+17+17+20+b）=12+2，
解得b=2．
乙數(shù)據(jù)的方差S²_乙=$\frac{1}{7}$[（8-14）²+（9-14）²+（10-14）²+（15-14）²+2（17-14）²+（22-14）²]=$\frac{160}{7}$．
（2）現(xiàn)從甲、乙兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)數(shù)分別記為m，n，有放回的選取2次，記m＞n的次數(shù)為X．
則X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{34}{49}×\frac{34}{49}$=$\frac{1156}{2401}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{15}{49}）（\frac{34}{49}）$=1020$\frac{1020}{2401}$，
P（X=2）=$（\frac{15}{49}）^{2}$=$\frac{225}{2401}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1156}{2401}$	$\frac{1020}{2401}$	$\frac{225}{2401}$

EX=$0×\frac{1156}{2401}$+1×$\frac{1020}{2401}$+2×$\frac{225}{2401}$=$\frac{1381}{2401}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．