Question

5．在銳角△ABC中，BC=1，B=3A，則AC的取值范圍是（1，2$\sqrt{2}$-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和B=3A及三倍角的正弦公式化簡得到AC=4cos²2A-1，要求AC的范圍，只需找出3-4sin²A，的范圍即可，根據(jù)銳角△ABC和B=3A求出A的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cos2A的范圍即可．

解答 解：由正弦定理$\frac{AC}{BC}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin3A}{sinA}$=$\frac{sin（A+2A）}{sinA}$=cos2A+2cos²A=4cos2A-1．
△ABC是銳角三角形，
∴B＜0，即3A＜90°，
因此，A＜30°；
在三角形中兩角之和（A+B）＜180°，即4A＜180°，
∴A＜45；
∵C＜90°，
∴A+B＞90°，即4A＞90°，
∴A＞22.5°，
因此，22.5°＜A＜30°，
∴45°＜2A＜60°，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$cos2A＜$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴1＜4cos²2A-1＜2$\sqrt{2}$-1，
∴AC的取值范圍為（1，2$\sqrt{2}$-1）．

點評 此題考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式及兩角和正弦公式化簡求值，本題的突破點是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及B=3A變換角得到角的范圍．