Question

某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為A，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）=

1

3

x2+10x（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+

10000

x

-1450（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C（x）=

1

3

x2+10x（萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C（x）=51x+

10000

x

-1450，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵每件商品售價(jià)為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-

1

3

x2-10x-250=

1

3

x2+40x-250；
②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入-成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）-51x-

10000

x

+1450-250=1200-（x+

10000

x

）．
綜合①②可得，L（x）=

- 1 3 x2+40c-250，0＜x＜80 1200-(x+ 10000 x )，x≥80

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

- 1 3 x2+40c-250，0＜x＜80 1200-(x+ 10000 x )，x≥80

，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=

1

3

x2+40x-250=-

1

3

(x-60)2+950，
∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200-（x+

10000

x

）≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

10000

x

，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

點(diǎn)評：考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力，以及運(yùn)用基本不等式求最值的能力．