如圖所示,正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長為
2
,底面邊長為
3
,E是SA的中點(diǎn),O為底面ABCD的中心.
(1)求CE的長;
(2)求異面直線BE與SC所成角的余弦值;
(3)若OG⊥SC,垂足為G,求證:OG⊥BE.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征
專題:空間角
分析:(1)建立空間坐標(biāo)系,即可求CE的長;
(2)利用向量法即可求異面直線BE與SC所成角的余弦值;
(3)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明OG⊥平面OEB即可證明OG⊥BE.
解答: 解:(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵底面邊長為
3
,側(cè)棱長為
2

∴AC=
6
,OC=OA=
6
2
,
則SO=
2
2
,
則A(
6
2
,0,0),C(-
6
2
,0,0),S(0,0,
2
2
),E(
6
4
,0,
2
4
),
B(0,
6
2
,0),
CE
=(-
6
4
,0,
2
4
),則|
CE
=
(
6
4
)2+(
2
4
)2
=
1
2
=
2
2
,
即CE=
2
2

(2)
BE
=(
6
4
,-
6
2
,
2
4
),
SC
=(-
6
2
,0,-
2
2
),
則|
BE
|=
2
,|
SC
|=
2
,
則cos<
BE
SC
>=
BE
SC
|
BE|
|
SC
|
=
-1
2
×
2
=-
1
2
,
即異面直線BE與SC所成角的余弦值為
1
2

(3)∵E是SA的中點(diǎn),
∴OE∥SC,
若OG⊥SC,則OG⊥OE,
∵OB⊥平面SAC,
∴OB⊥OG,
∵OE∩OB=B,
∴OG⊥平面OEB,
則OG⊥BE.
點(diǎn)評:本題主要考查空間直線和平面垂直的性質(zhì)以及空間線段長度以及異面直線所成角的求解,利用向量法是解決本題的關(guān)鍵.
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32
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B、-3+3i
C、-
2
+
2
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D、
2
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