Question

20．已知函數(shù)f（x）=${（{\frac{1}{2}}）^{\sqrt{{x^2}-4ax+8}}}$在[2，6]上單調(diào)，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，1]∪[3，+∞）
• B． （-∞，1]
• C． [3，+∞）
• D． [$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{6}}$]

Answer 1

分析 令t=x²-4ax+8，則f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{t}}$，由題意可得x∈[2，6]時，t≥0，且t單調(diào)遞減或單調(diào)遞增，再利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得a的范圍．

解答 解：令t=x²-4ax+8，則f（x）=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{t}}$，由題意可得x∈[2，6]時，t≥0，且t單調(diào)遞減或單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≥6}\\{36-24a+8≥0}\end{array}\right.$  ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2a≤2}\\{4-8a+8≥0}\end{array}\right.$  ②，
解①求得a∈∅；解②求得a≤1，
綜上可得，a≤1，
故選：B．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．