Question

15．若經(jīng)過雙曲線左焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則把線段AB稱為該雙曲線的左焦點(diǎn)弦，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1長度為整數(shù)且不超過4的左焦點(diǎn)弦的條數(shù)為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 求得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1中的a，b，c，可得左焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{5}$，0）．雙曲線過左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦可以分為兩類：第一類，端點(diǎn)均在左支上，最短的為通徑，第二類，端點(diǎn)分別在兩支，最短為實(shí)軸．由此入手能夠求出結(jié)果．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1中，a²=4，b²=1，c²=5，
左焦點(diǎn)F₁（-$\sqrt{5}$，0），
雙曲線過左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦可以分為兩類：
第一類，端點(diǎn)均在左支上，最短的為通徑，
將x=-$\sqrt{5}$代入橢圓方程，得y²=$\frac{5}{4}$-1，可得|y|=$\frac{1}{2}$，
可得通徑長為2|y|=1，
由長度為整數(shù)且不超過4，
可得符合條件的焦點(diǎn)弦長為1，2，3，4，
根據(jù)對(duì)稱性每個(gè)弦長對(duì)應(yīng)2條弦，共2×3+1=7．
第二類，端點(diǎn)分別在兩支，最短為實(shí)軸，
2a=4，符合題意的弦長：4，
只有1條，
故滿足條件的弦共有：1+7=8條．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，具體涉及到雙曲線的簡單性質(zhì)，雙曲線和直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．