Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2bx+1+ln2，若對于?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間較用定義簡單，所以利用導(dǎo)數(shù)求解，需要注意函數(shù)的定義域；
（2）依題意要求對定義域內(nèi)的任意x值都有不等式立，只需f（x）的最小值比g（x）不小就可以，所以由上一問可以確定f（x）在定義域內(nèi)的最小值為$f（\frac{1}{2}）$，題中要求可以看作是關(guān)于g（x）的一個二次不等式在[0，1]上有解，運用分離常數(shù)法可以變成有關(guān)b和x的不等式，其中知道x的范圍，利用一些不等式的性質(zhì)就可以求得b的范圍．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，可知定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=1時，$f′（x）=2x+1-\frac{1}{x}$，f′（x）=0的解為$x=\frac{1}{2}或x=-1（舍去）$，
∴在$（0，\frac{1}{2}）$上f′（x）＜0，故f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$為單調(diào)減函數(shù)，
在$[\frac{1}{2}，+∞）$上f′（x）≥0，故f（x）在$[\frac{1}{2}，+∞）$為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）由（1）中條件可知對?x∈（0，+∞）均有$f（x）≥f（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{4}+ln2$，
依題中條件?x₁∈（0，+∞）?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂），
即關(guān)于x的不等式${x}^{2}-2bx+1+ln2≤\frac{3}{4}+ln2$在[0，1]上有解，
∴將其進行變形有${x}^{2}+\frac{1}{4}≤2bx$，當(dāng)x=0時不等式不成立；
[0，1]且x≠0時有$b≥\frac{1}{2}×（x+\frac{1}{4x}）$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{x•\frac{1}{4x}}=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{1}{4x}$時等號成立，即$x=\frac{1}{2}$．
故：b的范圍是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 （1）中利用導(dǎo)數(shù)求單區(qū)間應(yīng)注意函數(shù)定義域；（2）運用轉(zhuǎn)化思想將原已知條件進行轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)殛P(guān)于x的不等式在某一區(qū)間有解的問題．