Question

11．設(shè)函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x，0≤x＜1\\ \frac{1}{{f（{x+1}）}}-1，-1＜x＜0\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-4mx-m，其中m≠0．若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $m≥\frac{1}{4}$或m=-1
• B． $m≥\frac{1}{4}$
• C． $m≥\frac{1}{5}$或m=-1
• D． $m≥\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-4mx-m=0得f（x）=4mx+m，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x\;，0\;≤\;x\;＜\;1\;\\ \frac{1}{x+1}-1\;，\;-1\;＜\;x＜0\;\end{array}\right.$．作函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖所示
函數(shù)g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)?函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=4mx+m交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
當(dāng)直線y=4mx+m過(guò)點(diǎn)（1，1）時(shí)，$m=\frac{1}{5}$；當(dāng)直線y=4mx+m與曲線$y=\frac{1}{x+1}-1$（-1＜x＜0）相切時(shí)，（m＜0），
由$y=\frac{1}{x+1}-1$=4mx+m
得-$\frac{x}{x+1}$=4mx+m，
即-x=（4mx+m）（x+1），
整理得4mx²+（5m+1）x+m=0，
則判別式△=（5m+1）²-16m²=0，-1＜-$\frac{5m+1}{4m}$＜0
即9m²+10m+1=0，
可求得m=-1或m=-$\frac{1}{9}$．
當(dāng)m=-$\frac{1}{9}$時(shí)，-1＜-$\frac{5m+1}{4m}$＜0不成立，
故此時(shí)m=-1，
根據(jù)圖象可知當(dāng)m≥$\frac{1}{5}$或m=-1時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，作出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．