Question

如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調和三角形”，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為

1

n

(n≥2)，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：

1

1

=

1

2

+

1

2

，

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

…，則
（1）第6行第3個數(shù)字是

 

．
（2）第n（n≥3）行第3個數(shù)字是

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：根據(jù)“萊布尼茲調和三角形”的特征，每個數(shù)是它下一個行左右相鄰兩數(shù)的和，得出將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，再求出第n（n≥3）行第3個數(shù)字的表達式，
（1）利用表達式和組合數(shù)公式求出第6行第3個數(shù)字；
（2）利用組合數(shù)公式化簡第n（n≥3）行第3個數(shù)字的表達式．

解答： 解：將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)

1

(n+1) C r n

，
就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，即為萊布尼茲三角形．
因為楊暉三角形中第n（n≥3）行第3個數(shù)字是C_n-1²，
所以“萊布尼茲調和三角形”第n（n≥3）行第3個數(shù)字是

1

n C 2 n-1

，
（1）第6行第3個數(shù)字是

1

6 C 2 5

=

1

6× 5×4 2

=

1

60

；
（2）第n（n≥3）行第3個數(shù)字是

1

n C 2 n-1

=

1

n× (n-1)(n-2) 2

=

2

n(n-1)(n-2)

，
故答案為：（1）

1

60

；（2）

2

n(n-1)(n-2)

．

點評：本題考查歸納推理，以及組合數(shù)公式、楊暉三角形的應用，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．