Question

16．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3．
（1）求此函數(shù)解析式；
（2）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，函數(shù)的最值可以確定A，根據(jù)在x∈（0，7π）內(nèi)取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，且當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3，可以確定函數(shù)的周期，從而求出ω的值和φ的值，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解此不等式，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）∵當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，當(dāng)x=6π時(shí)，y有最小值-3．
∴A=$\frac{1}{2}$[3-（-3）]=3，$\frac{T}{2}$=5π，
∴T=10π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，
∵當(dāng)x=π時(shí)，y有最大值3，
∴$\frac{1}{5}$π+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{10}$，
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$），
（2）令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：10kπ-4π≤x≤10kπ+π，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：{x|10kπ-4π≤x≤10kπ+π   k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題．