Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．直線OM的斜率與l的斜率的乘積為（　　）

• A． $\frac{b^2}{a^2}$
• B． -$\frac{b^2}{a^2}$
• C． -$\frac{c^2}{a^2}$
• D． 不確定，隨A，B的變化而變化

Answer 1

分析 涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可采取韋達(dá)定理求解：設(shè)直線l的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦AB的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系．

解答 解：設(shè)直線l：y=kx+m，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
將y=kx+m代入橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），整理得（k²a²+b²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，
△＞0，x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}$，
故x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}$，
y_M=kx_M+m=-$\frac{{k}^{2}{a}^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+{^{2}}_{\;}}$+m=$\frac{^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}$，
∴直線OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{\frac{^{2}m}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}}{-\frac{{a}^{2}km}{{k}^{2}{a}^{2}+^{2}}}$=-$\frac{^{2}}{k{a}^{2}}$，
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為：-$\frac{^{2}}{k{a}^{2}}×k$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線斜率乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．