Question

15．若實數(shù)x、y滿足xy＞0，則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$的最大值為（　�。�

• A． 2-$\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 4$-2\sqrt{2}$
• D． 4$+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用換元法，設(shè)x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同號．即有x=2s-t，y=t-s，則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=$\frac{2s-t}{s}$+$\frac{2t-2s}{t}$
=4-（$\frac{t}{s}$+$\frac{2s}{t}$），再由基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：可令x+y=s，x+2y=t，
由xy＞0，可得x，y同號，s，t同號．
即有x=2s-t，y=t-s，
則$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=$\frac{2s-t}{s}$+$\frac{2t-2s}{t}$
=4-（$\frac{t}{s}$+$\frac{2s}{t}$）≤4-2$\sqrt{\frac{t}{s}•\frac{2s}{t}}$=4-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=2s²，取得等號，
即有所求最大值為4-2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查最值的求法，注意運用換元法和基本不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．