Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，I分別是CC₁，AB，AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：面CEI∥平面A₁BD；
（2）若H為A₁B上的動點(diǎn)，CH與平面A₁AB所成的最大角的正切值為

15

2

，求側(cè)棱AA₁的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明面CEI∥平面A₁BD，只需證明EI∥平面A₁BD，CE∥平面A₁BD，利用三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì)可以證明；
（3）先說明連接EH，則∠EHC為CH與平面AA₁B所成的角，再在△CEH中，利用正切函數(shù)，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵E，I分別是AB，AA₁的中點(diǎn)，
∴EI∥BA₁，
∵EI?平面A₁BD，BA₁?平面A₁BD，
∴EI∥平面A₁BD，
取BA₁的中點(diǎn)G，連接EG，DG，
∴GE平行且等于

1

2

AA₁，
∵D是CC₁中點(diǎn)，
∴CD平行且等于

1

2

AA₁，
∴GE平行且等于CD，
∴四邊形GDCE是平行四邊形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A₁BD，GD?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD，
∵CE∩EI=E，
∴平面A₁BD∥面CEI；
（2）∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE
又△ABC等邊三角形，E是中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，CE=

3

2

AB=

3

所以CE⊥面AA₁B，
連接EH，則∠EHC為CH與平面AA₁B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

，
所以EH最短時∠EHC最大
此時，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

=

15

2

，∴EH=

2 5

5

由平幾相似關(guān)系得AA₁=4．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直，線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面平行的判定方法，正確作出線面角．