Question

8．在四邊形ABCD中，∠DAB與∠DCB互補，AB=1，CD=DA=2，對角線BD=$\sqrt{7}$，
（1）求BC；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）在△ADB中，△DCB中，分別使用余弦定理進行求解即可求BC；
（2）四邊形ABCD的面積S=S_△ADB+S_△BDC．分別根據(jù)三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：（1）在△ADB中，cos∠DAB=$\frac{A{D}^{2}+A{B}^{2}-B{D}^{2}}{2AD•AB}$=$\frac{4+1-7}{2×2×1}=-\frac{1}{2}$，
即∠DAB=120°，則∠DCB=60°，
在△DCB中，cos∠DCB=$\frac{D{C}^{2}+B{C}^{2}-B{D}^{2}}{2DC•BC}=\frac{1}{2}$，
即$\frac{4+B{C}^{2}-7}{2×2BC}=\frac{1}{2}$，
即BC²-2BC-3=0．
解得BC=3或BC=-1（舍）．
（2）四邊形ABCD的面積S=S_△ADB+S_△BDC=$\frac{1}{2}AD•ABsin120°$+$\frac{1}{2}CD•BCsin60°$=$\frac{1}{2}×2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，

點評 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)余弦定理以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．