Question

14．已知F為拋物線C：y²=6x的焦點，A，B是C上的兩點，線段AB的中點為M（2，2），求△ABF的面積．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點，設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式求得k，注意檢驗判別式是否大于0，運用弦長公式和點到直線的距離公式，即可得到△ABF的面積．

解答 解：拋物線C：y²=6x的焦點為F（$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)直線AB：y-2=k（x-2），
即y=kx+2-2k，
代入拋物線方程y²=6x，
可得k²x²+（4k-4k²-6）x+（2-2k）²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式△=（4k-4k²-6）²-4k²（2-2k）²＞0，
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+6-4k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{（2-2k）^{2}}{{k}^{2}}$
由線段AB的中點為M（2，2），
則$\frac{4{k}^{2}+6-4k}{{k}^{2}}$=4，解得k=$\frac{3}{2}$．
代入判別式顯然大于0，
即有直線AB：y=$\frac{3}{2}$x-1，
x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{4}{9}$，
則有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$•$\sqrt{{4}^{2}-\frac{16}{9}}$=$\frac{4\sqrt{26}}{3}$，
F到直線AB的距離為d=$\frac{|\frac{9}{4}-1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}}}$=$\frac{5\sqrt{13}}{26}$，
則△ABF的面積為S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{13}}{26}$×$\frac{4\sqrt{26}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用判別式大于0和韋達定理及中點坐標公式，同時考查點到直線的距離公式，三角形的面積的計算，屬于中檔題．