Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，若對任意的x₁，x₂∈[e²，+∞），有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|＞$\frac{k}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，1）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)不等式單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，不妨設(shè)x₁≥x₂≥e²，
則|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|＞$\frac{k}{{x}_{1}•{x}_{2}}$?f（x₂）-f（x₁）＞k（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$），
?f（x₂）-k•$\frac{1}{{x}_{2}}$＞f（x₁）-k•$\frac{1}{{x}_{1}}$，
?函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{k}{x}$在[e²，+∞）上單調(diào)遞減，
則F′（x）=$\frac{k-lnx}{{x}^{2}}$≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立，
∵在[e²，+∞）上，（lnx）_min=lne²=2，
故k∈（-∞，2]，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a，以及函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．